Durante l'estate del 2025, poco dopo essermi laureato in Ingengeria dell'Automazione al Polimi, seguì, recuperandomi le registrazioni delle lezioni e i materiali del Professor Emilio Barucci, il corso "Finanza Matematica".

In seguito riporto gli appunti, rimessi a posto e integrati quando necessario.
Sono imperfetti e incompleti, mancano di una trattazione matematica approfondita e rispecchiano il mio grado di conoscenza della materia. Mi scuso in anticipo per possibili imprecisioni e mancanze.

Indice:

Leggi di Capitalizzazione
Struttura dei tassi e Bond
Valutazione degli Investimenti
Rischio di Tasso, Indici Temporali e Principio di Immunizzazione
Scelte in Condizioni di Rischio
Analisi Media Varianza e Teoria del Portafoglio di Markowitz
Scelte di Portafoglio
Frontiera dei Portafogli
Asset Management
Capital Asset Pricing Model

Bibliografia

Leggi di Capitalizzazione

Definiscono la quota di interessi in funzione del tempo a partire da un parametro che misura il tasso di interesse per unità di tempo (solitamente l'anno).

Le leggi di capitalizzazione che descrivono il montante $M$ in funzione del capitale iniziae $C_{0}$ e un tasso di interesse $i$ sono:

Semplice $M = C_{0} (1 + i \cdot t)$

Composta: $M = C_{0} (1 + i)^{t}$

Continua (esponenziale): $M = C_{0} e^{i t}$

Si noti come la capitalizzazione continua sia un modello limite dell’interesse composto, quando la capitalizzazione diventa continua (gli interessi vengon pagati in ogni istante, non solo a intervalli discreti).

E' inoltre importante distinguere il Tasso di interesse Nominale da quello Reale: il primo fornisce un indicatore sull'ammontare di denaro ricevuto come interesse per unità di denaro investita, ma non fornisce un indicatore di remunerazione in termini di beni che posso acquistare in t = 1 in quanto non tiene conto delle variazioni del potere di acquisto (dell'inflazione).

Si può quindi scrivere:

i_{r} = i_{n} - π

Tassi Spot e Forward

Il tasso spot rappresenta il prezzo attuale di mercato di un asset: è quello che si pagherebbe o riceverebbe immediatamente. Il tasso forward, invece, rappresenta il prezzo a cui è possibile o vendere lo stesso asset in una data futura.

Il tasso forward non è casuale: incorpora il differenziale tra i tassi di interesse dei due strumenti o valute coinvolte e il tempo fino alla scadenza, oltre ad eventuali costi aggiuntivi come dividendi o costi di stoccaggio.

Struttura dei Tassi e Bond

Dai prezzi degli zero coupon bonds a pronti è possibile ricavare la curva dei tassi spot utilizzando le leggi di capitalizzazione.

Tasso di interesse spot in capitalizzazione semplice in $[t, T]$ :

L (t, T) = \frac{1 - p ( t , T )}{T - t} oppure p (t, T) - 1 = - (T - t) L (t, T)

Tasso di interesse spot in capitalizzazione esponenziale (yield rate) in $[t, T]$ :

y (t, T) = - \frac{ln ( p ( t , T ))}{T - t}

Tasso di interesse forward istantaneo in $T$ definito in $t$

f (t, T) = - \frac{\partial ln ( p ( t , T ))}{\partial T}

A partire da queste formule, è possibile ricostruire la curva dei tassi.

Principio di Non Arbitraggio

Non è possibile mettere in campo un'operazione di mercato (acquisto e vendita di titoli scambiati o che si intende scambiare sul mercato) che garantisce un flusso di denaro positivo (non negativo ad ogni data e strettamente positivo almeno ad una data) senza esborsi di denaro.

Di conseguenza, se fosse possibile costruire un arbitraggio nel mercato allora i prezzi di mercato consentirebbero agli operatori la possibilità di arricchirsi in modo eclatante. Se succedessero questo i prezzi di mercato dei titoli dovrebbero variare fino a eliminare le opportunità di arbitraggio.

Prezzo di Coupon Bond a partire da Zero Coupon Bond

In base al Principio di Non Arbitraggio, il prezzo di un coupon bond può essere calcolato come la somma di tanti Zero Coupon Bond con scadenze diverse, pari alle cedole del coupon bond.

Prezzo di un coupon bond con flussi $x = [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N}]$ :

p (t, x) = n = 1 \sum N x_{n} p (t, T_{n})

Valutazione degli Investimenti

Criterio del Valore Attuale

Si assume che la banca applica un tasso di interesse annuale $i$ costante, sia per capitalizzazione che per attualizzazione, indipendentemente dal capitale.

Per un'operazione finanziaria con flussi ${x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{T}}$ alle date ${0, 1, 2, \dots, T}$

Il valore attuale di un flusso $x_{t}$ disponibile al tempo $t$ è:

x_{t} \cdot (1 + i)^{- t}

Il valore attuale dell'intera operazione al tempo 0:

V A (0) = x_{0} + \frac{x _{1}}{1 + i} + \frac{x _{2}}{( 1 + i ) ^{2}} + \dots + \frac{x _{T}}{( 1 + i ) ^{T}}

Il valore dell'operazione al tempo $t$ :

V A (t) = V A (0) \cdot (1 + i)^{t}

È sufficiente valutare i progetti al tempo $t = 0$ , poiché il valore a tempi successivi cambia solo per un fattore moltiplicativo.

Il progetto preferibile è quello con $V A$ più elevato, tuttavia, si ricordi che il VA dipende dal tasso $i$ , infatti:

V A_{A} (i) \geq V A_{B} (i) \neq \Rightarrow V A_{A} (i^{'}) \geq V A_{B} (i^{'})

Criterio del TIR

Per valutare un operazione finanziaria con tale metodo, si paerte calcolando con metodi numerici il TIR (Tasso interno di Rendimento)n, è quel tasso $i^{*}$ (o il fattore di sconto)

v^{*} = \frac{1}{1 + i ^{*}}

che rende equilibrata l'operazione, cioè tale che il valore attuale dei flussi sia nullo:

t = 0 \sum T x_{t} (1 + i)^{- t} = t = 0 \sum T x_{t} v^{t} = 0

In altre parole, il TIR è il tasso di sconto che annulla il valore attuale netto (NPV) dell'operazione. Ovviamente, un TIR elevato è da preferire in quanto garantisce un rendimento più elevato dell'investimento.

Il TIR non ha una formula chiusa nella maggior parte dei casi, quindi si ricorre spesso a metodi numerici.

Rischio di Tasso, Indici Temporali e Principio di Immunizzazione

Anche se siamo in un contesto privo di rischio (i flussi di denaro futuri sono certi), acquistando un'obbligazione corriamo un rischio.

Il rischio riguarda il fatto che il prezzo del titolo possa variare in futuro a seguito di una variazione dei tassi di interesse di mercato.

Di conseguenza, nel caso dovessi rivendere il titolo prima della scadenza, si otterrebbe un rendimento più elevato nel caso in cui il titolo aumenti di valore (i tassi di interesse di mercato diminuiscono) e un rendimento più basso nel caso in cui il titolo diminuisca di valore (i tassi di interesse di mercato aumentano). Questo è noto come rischio di tasso.

Si consideri il seguente esempio:

Cedola annuale: $R$
Rimborso del valore nominale: $C$ al tempo $T$
Flussi di cassa: ${R, R, \dots, R + C}$ alle date ${1, 2, \dots, T}$
Tasso cedolare: $R / C$

Dati i tassi a pronti $i (0, t)$ , è possibile calcolare il prezzo del titolo:

P = t = 1 \sum T \frac{R}{( 1 + i ( 0 , t ) ) ^{t}} + \frac{C}{( 1 + i ( 0 , T ) ) ^{T}}

Assumendo una struttura dei tassi piatta ( $i (0, t) = i$ ) e definendo $v = (1 + i)^{- 1}$

P = R v + R v^{2} + \dots + R v^{T} + C v^{T} = R \frac{1 - v ^{T}}{1 - v} + C v^{T}

Si giungr quindi alla seguente interpretazione:

$R / C = i ⟹ P = C$ (titolo prezzato alla pari)
$R / C > i ⟹ P > C$ (titolo prezzato sopra la pari)
$R / C < i ⟹ P < C$ (titolo prezzato sotto la pari)

Indici temporali: Duration e Convexity

Si rimanda la video di Paolo Coletti "Duration e Duration Modificata" per approfondimenti e una trattazione matematica più approfondita

La duration di primo ordine rappresenta il momento medio dei flussi di cassa rispetto al tempo corrente $t$ , ponderato per il valore attuale dei flussi.

Flussi del titolo: ${x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N}}$ alle date ${T_{1}, T_{2}, \dots, T_{N}}$
Distribuzione di probabilità dei flussi:

m_{n} = \frac{x _{n} ( 1 + i ( t , T _{n} ) ) ^{- (T_{n} - t)}}{p ( t , x )} > 0

D U (t, x) = n = 1 \sum N (T_{n} - t) m_{n}

La duration di secondo ordine misura il momento quadratico dei flussi, utile per considerare la curvatura della relazione prezzo-tasso (matematicamente è collegata alla derivata del prezzo):

D U_{2} (t, x) = n = 1 \sum N (T_{n} - t)^{2} m_{n}

$D U (t, x)$ rappresenta media ponderata delle date in cui il titolo consegna denaro
$D U_{2} (t, x)$ misura della dispersione dei flussi, legata alla convexity
$D U_{2} (t, x)$ è fondamentale per migliorare le stime delle variazioni di prezzo rispetto ai tassi di interesse non piccole

Yield to Maturity

Lo Yield to Maturity (YTM), o rendimento a scadenza, è il tasso di rendimento implicito di un’obbligazione se:

viene comprata oggi al prezzo di mercato $P$
si mantiene l’obbligazione fino alla scadenza
Tutti i flussi di cassa (cedole e rimborso del capitale) vengono reinvestiti allo stesso tasso

In altre parole, è il tasso di interesse che rende il valore attuale netto dei flussi di cassa dell’obbligazione pari al suo prezzo di mercato.

p (t, x) = n = 1 \sum N x_{n} e^{- y (T_{n} - t)}

Nel caso di uno zero coupon bond, $y$ corrisponde al tasso spot in capitalizzazione esponenziale.

Duration di Macaulay

La Duration di Macaulay misura il momento medio dei flussi di cassa ponderato per il loro valore attuale:

D U (t, x) = \frac{\sum _{n = 1}^{N} ( T _{n} - t ) x _{n} e ^{- y (T_{n} - t)}}{p ( t , x )}

D U_{2} (t, x) = \frac{\sum _{n = 1}^{N} ( T _{n} - t ) ^{2} x _{n} e ^{- y (T_{n} - t)}}{p ( t , x )}

A partire dalla Duration e dalla Duration di Macaulay, è possibile quindi definire la Duration Modificata come

D U_{m} = \frac{D U}{1 + y}

Essa tiene conto del tasso di rendimento e misura la variazione percentuale del prezzo per una variazione infinitesimale del tasso.

Convexity

La convexity di un titolo misura la curvatura della relazione prezzo-tasso ed è definita come la derivata seconda del valore di mercato rispetto al tasso i in capitalizzazione composta, rapportata al prezzo del titolo:

C (t, x) = \frac{1}{p ( t , x )} \frac{d ^{2} p ( t , x )}{d i ^{2}}

Formula per un titolo con flussi ${x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N}}$ alle date ${T_{1}, \dots, T_{N}}$ :

C (t, x) = \frac{1}{p ( t , x )} n = 1 \sum N (T_{n} - t) (T_{n} - t + 1) x_{n} (1 + i)^{- (T_{n} - t + 2)}

In sintesi: una convexity positiva indica che il prezzo dell’obbligazione aumenta più del previsto quando i tassi scendono e diminuisce meno del previsto quando i tassi salgono.

Sfruttando questi risultati, in un contesto di struttura di tassi di interesse piatta è possibile calcolare la variazione del prezzo del titolo in via approssimata al primo e al secondo ordine.

Una piccola variazione del tasso $Δ i$ induce una variazione del valore di mercato $Δ p (t, x)$ :

Δ p (t, x) \approx - \frac{1}{1 + i} D U (t, x) p (t, x) Δ i

Se si considerano anche la convexity, si ottiene una stima più accurata per variazioni non piccole dei tassi:

Δ p (t, x) \approx - D U (t, x) p (t, x) Δ i + p (t, x) C (t, x) (Δ i)^{2}

Il termine lineare cattura la sensibilità principale del prezzo ai tassi, mentre il termine quadratico cattura la curvatura della relazione prezzo-tasso

Principio di Immunizzazione

Quando la struttura dei tassi di interesse è piatta, la Duration e la Convexity di un titolo diventano strumenti fondamentali per capire come varia il valore di mercato di un portafoglio in risposta a piccoli cambiamenti dei tassi. In pratica, questi indicatori permettono di stimare quanto un aumento o una diminuzione dei tassi influenzi sia gli asset che i passivi, fornendo così una misura del rischio di tasso.

Un’applicazione molto importante è il cosiddetto Duration matching, cioè il bilanciamento della Duration tra il portafoglio dell’attivo e quello del passivo.
L’idea è semplice: se le Duration sono allineate, le variazioni infinitesime dei tassi producono effetti opposti ma simili in magnitudine sull’attivo e sul passivo, annullandosi a vicenda.

Scelte in Condizioni di Rischio

Valore Atteso

Ad ogni evento elementare, l'individuo associa un valore che descrive il proprio livello di soddisfazione (ad esempio in termini di denaro), così facendo si giunge a defnire una variabile aleatoria che descrive il suo livello di soddisfazione e la probabilità associate ad ogni evento che potrà accadere.

E [X] = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x

Il criterio del valore atteso ha sicuramente un suo signicato ma si presta a più di un problema: la media è l'indicatore sintetico per eccellenza di una variabile ma non tiene conto della dispersione rispetto alla media e quindi del rischio che effettivamente si sarebbe chiamati a correre.

Utilità Attesa

La teoria dell’utilità attesa fornisce un modello per descrivere le scelte di un investitore in condizioni di incertezza.
L’idea centrale è che gli individui non massimizzano il valore atteso della ricchezza, ma invece il valore atteso di una funzione di utilità della ricchezza.

Sia $X$ una variabile aleatoria che rappresenta la ricchezza finale di un investitore e sia $u (X)$ la funzione di utilità associata.

L’utilità attesa è definita, nel caso continuo, come:

E [u (X)] = \int_{- \infty}^{+ \infty} u (x) f (x) d x

dove:

$x_{i}$ : possibili esiti della ricchezza,
$p_{i}$ : probabilità associate,
$f (x)$ : densità di probabilità di $X$ .

Principio dell'Utilità Attesa

Un investitore preferisce un progetto/portafoglio $A$ rispetto a $B$ se:

E [u (X_{A})] > E [u (X_{B})]

La funzione di utilità definisce anche l'avversione al rischio di un individuo.

Un individuo infatti, si dice:

avverso al rischio se a partire da qualsiasi livello di ricchezza detenuto con certezza non accetta o è indifferente rispetto ad ogni lotteria attuarialmente equa
neutrale al rischio se ogni lotteria attuarialmente equa gli è indifferente
amante del rischio se accetta ogni lotteria attuarialmente equa

Analogamente, un individuo si dice:

avverso al rischio se $u (X)$ è (strettamente) concava (ossia $U (X)^{''} < 0$ )
neutrale al rischio se $u (X)$ è lineare e $U (X)^{''} = 0$
amante del rischio se $u (X)$ di utilità è convessa (ossia $U (X)^{''} > 0$ )

A partire da $u (X)$ , è possibile introdurre il coefficiente assoluto di avversione al rischio $r_{a} (x)$ , definito come:

r_{a} (x) = - \frac{u ^{''} ( x )}{u ^{'} ( x )} .

E, analogamente, il coefficiente relativo di avversione al rischio $r_{r} (x)$ :

r_{r} (x) = r_{a} (x) x

La funzione di utilità $u (\cdot)$ può essere quindi classificata in base all’andamento di $r_{a} (x)$

Avversione assoluta al rischio decrescente (DARA)

(r_{a})^{'} (x) < 0 \forall x \in R^{+}

L’avversione al rischio diminuisce all’aumentare della ricchezza (caso realistico per la maggior parte degli individui).

Avversione assoluta al rischio costante (CARA)

(r_{a})^{'} (x) = 0 \forall x \in R^{+}

L’avversione al rischio resta invariata al variare della ricchezza (tipica della funzione di utilità esponenziale):

u (x) = - e^{- αx}, r_{a} (x) = α .

Avversione assoluta al rischio crescente (IARA)

(r_{a})^{'} (x) > 0 \forall x \in R^{+}

L’avversione al rischio aumenta all’aumentare della ricchezza (considerata poco realistica in economia comportamentale).

Premio per il rischio e Certo Equivalente

La definizione che abbiamo appena dato di avversione al rischio induce a pensare che un individuo sia disposto a pagare un prezzo positivo per passare da una lotteria rischiosa ad una situazione caratterizzata dal suo valore atteso ottenuto con certezza. Tale prezzo è detto premio per il rischio.

Il premio per il rischio $ρ_{u} (\tilde{x})$ di una lotteria $t i l d e x$ per un individuo con funzione di utilità $u (\cdot)$ rappresenta il massimo ammontare di denaro che l’individuo è disposto a pagare per ricevere con certezza il valore atteso della lotteria, al posto di affrontarne l’incertezza.

Il premio per il rischio $r h o_{u} (\tilde{x})$ è definito come il valore tale che:

u (E [\tilde{x}] - ρ_{u} (\tilde{x})) = E [u (\tilde{x})] .

$E [\tilde{x}]$ : valore atteso della lotteria.
$E [u (\tilde{x})]$ : utilità attesa della lotteria.
$ρ_{u} (\tilde{x})$ : misura la "penalità monetaria" che l’individuo associa al rischio.

Se l’individuo è avverso al rischio (cioè $u (\cdot)$ è concava e crescente), l'individuo è disposto a rinunciare a una parte del valore atteso pur di evitare l'incertezza:

ρ_{u} (\tilde{x}) \geq 0.

Se è neutrale al rischio ( $u (x)$ lineare), allora:

ρ_{u} (\tilde{x}) = 0.

Se è propenso al rischio ( $u (x)$ convessa), l'individuo preferisce la lotteria al suo valore atteso:

ρ_{u} (\tilde{x}) \leq 0.

Dato il premio per il rischio $ρ_{u} (\tilde{x})$ , il certo equivalente di una lotteria $\tilde{x}$ è definito come:

CE (\tilde{x}) = E [\tilde{x}] - ρ_{u} (\tilde{x}) .

$CE (\tilde{x})$ rappresenta la quantità certa di denaro che rende l’individuo indifferente tra:

ricevere $CE (\tilde{x})$ con certezza,
oppure partecipare alla lotteria $\tilde{x}$ .

Può essere interpretato come il prezzo minimo che un individuo è disposto ad accettare per cedere la lotteria.

Se l’individuo è avverso al rischio:

CE (\tilde{x}) \leq E [\tilde{x}] .

Se è neutrale al rischio:

CE (\tilde{x}) = E [\tilde{x}] .

Se è propenso al rischio:

CE (\tilde{x}) \geq E [\tilde{x}] .

Analisi Media Varianza e Teoria del Portafoglio di Markowitz

Il criterio Media-Varianza è un metodo di confronto tra due variabili aleatorie basato su rendimento atteso e varianza.

Date due variabili aleatorie $\tilde{x}$ e $\tilde{y}$ , si dice che:

\tilde{x} MV \tilde{y} ⟺ E [\tilde{x}] \geq E [\tilde{y}], Var (\tilde{x}) \leq Var (\tilde{y}) .

Quindi, secondo il criterio MV:

Un investimento $\tilde{x}$ è preferibile a $\tilde{y}$ se ha rendimento atteso maggiore o uguale e varianza minore o uguale.
Se una delle due condizioni non è rispettata, non è possibile stabilire una dominanza chiara.

Il criterio MV è alla base della Teoria del Portafoglio di Markowitz.
Gli investitori avversi al rischio scelgono combinazioni di portafogli che massimizzano il rendimento atteso dato un certo livello di rischio, o minimizzano il rischio dato un certo rendimento atteso.
Da qui nasce il concetto di frontiera efficiente.

Rendimento Atteso e Varianza di un Portafoglio di 2 Titoli Rischiosi

Si considerino due titoli rischiosi con rendimenti aleatori $\tilde{r}_{1}, \tilde{r}_{2}$ sull’orizzonte temporale $[0, 1]$ .
Supponiamo di avere una ricchezza iniziale $x = 1$ .

Si definisce un portafoglio con pesi $(w, 1 - w)$ , dove $w$ : quota investita nel titolo 1 e $1 - w$ : quota investita nel titolo 2

Vi saranno dunque tre casi possibili:

$0 < w < 1$ : investimento positivo in entrambi i titoli
$w < 0$ : vendita allo scoperto del titolo 1 e investimento maggiore in 2
$w > 1$ : vendita allo scoperto del titolo 2 e investimento maggiore in 1

In ogni caso, il rendimento del portafoglio sarà:

\tilde{r} = w \tilde{r}_{1} + (1 - w) \tilde{r}_{2}

e il suo valore atteso (lineare nei pesi):

E [\tilde{r}] = w E [\tilde{r}_{1}] + (1 - w) E [\tilde{r}_{2}]

La varianza del portafoglio (non lineare nei pesi) sarà:

σ^{2} (\tilde{r}) = w^{2} σ_{1}^{2} + (1 - w)^{2} σ_{2}^{2} + 2 w (1 - w) ρ σ_{1} σ_{2}

dove $ρ$ è la correlazione tra i due titoli:

ρ = \frac{Cov ( r ~ _{1} , r ~ _{2} )}{σ _{1} σ _{2}} .

I primi due termini: $w^{2} σ_{1}^{2}$ e $(1 - w)^{2} σ_{2}^{2}$ rappresentano il contributo delle varianze individuali dei titoli.

Il termine $2 w (1 - w) ρ σ_{1} σ_{2}$ rappresenta l’effetto della correlazione tra i due rendimenti.

Se $ρ < 1$ , esiste un beneficio di diversificazione, cioè la varianza del portafoglio può risultare inferiore a quella dei singoli titoli.

Principio di diversificazione

Dati due titoli rischiosi con egual rendimento atteso e varianza diversa, $σ_{1}^{2} > σ_{2}^{2}$ e, con correlazione nulla, $ρ = 0$ , il portafoglio ottimo (quello a varianza minima) si ottiene investendo nel primo titolo $w_{1}$ tale che:

w^{*} = \frac{σ _{2}^{2}}{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2}}

Il portafoglio che minimizza il rischio è diversificato (ma non perfettamente) in quanto $0 < w_{1} < 1$ .

Prinipio di Assicurazione

Consideriamo due rendimenti aleatori $\tilde{r}_{1}, \tilde{r}_{2}$ con deviazioni standard $σ_{1}, σ_{2}$ e correlazione $ρ = corr (\tilde{r}_{1}, \tilde{r}_{2})$ . Un portafoglio con peso $w$ sul primo titolo ha rendimento

\tilde{r} = w \tilde{r}_{1} + (1 - w) \tilde{r}_{2}

e varianza

σ^{2} (w) = w^{2} σ_{1}^{2} + (1 - w)^{2} σ_{2}^{2} + 2 w (1 - w) ρ σ_{1} σ_{2} .

Se vale

\tilde{r}_{1} = a + b \tilde{r}_{2},

allora

Cov (\tilde{r}_{1}, \tilde{r}_{2}) = b Var (\tilde{r}_{2}), ρ = \frac{Cov ( r ~ _{1} , r ~ _{2} )}{σ _{1} σ _{2}} = \frac{b σ _{2}^{2}}{σ _{1} σ _{2}} = \frac{b σ _{2}}{σ _{1}} = \frac{b σ _{2}}{∣ b ∣ σ _{2}} .

Di conseguenza:

$ρ = + 1 ⟺ b > 0$ (movimenti perfettamente allineati),

$ρ = - 1 ⟺ b < 0$ (movimenti perfettamente opposti).

Caso Correlazione perfettamente positiva: $ρ = + 1$

La varianza si riduce a

σ^{2} (w) = (w σ_{1} + (1 - w) σ_{2})^{2},

quindi la deviazione standard è

σ (w) = w σ_{1} + (1 - w) σ_{2} .

Per ottenere un portafoglio a varianz nulla serve

w σ_{1} + (1 - w) σ_{2} = 0 \Rightarrow \overset{w}{^} = \frac{σ _{2}}{σ _{2} - σ _{1}} .

$\overset{w}{^}$ non appartiene in generale a $[0, 1]$ .

Se $\overset{w}{^} \in / [0, 1]$ il portafoglio che azzera il rischio richiede short selling (non è un portafoglio diversificato in senso classico): si vende allo scoperto il titolo con varianza maggiore e si compra l'altro.

Caso Correlazione perfettamente negativa: $ρ = - 1$

La varianza prende la forma

σ^{2} (w) = (w σ_{1} - (1 - w) σ_{2})^{2},

da cui (per una scelta di segno appropriata)

σ (w) = w σ_{1} - (1 - w) σ_{2} .

Portafoglio a varianza nulla

Risolvendone l’annullamento si ottiene un peso interno:

\overset{w}{^} = \frac{σ _{2}}{σ _{1} + σ _{2}}, 1 - \overset{w}{^} = \frac{σ _{1}}{σ _{1} + σ _{2}},

con $\overset{w}{^} \in [0, 1]$ .
In questo caso il portafoglio a varianza nulla è diversificato: detiene quantità positive di entrambi i titoli e le loro oscillazioni si bilanciano esattamente.

Caso generale $- 1 < ρ < 1$

La varianza è una funzione quadratica di $w$ . Il peso che minimizza la varianza è

w^{*} = \frac{σ _{2}^{2} - ρ σ _{1} σ _{2}}{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2} - 2 ρ σ _{1} σ _{2}} .

Se $0 < w^{*} < 1$ : il portafoglio di minima varianza è una combinazione lunga in entrambi i titoli (diversificato).

Se $w^{*} < 0$ (o $w^{*} > 1$ ): la minimizzazione richiede short selling sul titolo con minore (o maggiore) varianza; in tali casi il portafoglio minimale non è un semplice portafoglio diversificato con pesi in $[0, 1]$ .

Interpretazione del Principio di Assicurazione

La correlazione influenza la qualità della diversificazione: più la correlazione è vicina a $- 1$ , maggiore il potenziale di riduzione del rischio per combinazioni lunghe.

Se i rendimenti sono perfettamente proporzionali (caso $ρ = \pm 1$ ), uno dei titoli può "assicurare" l'altro solo tramite opportuni pesi (che possono richiedere posizioni corte se la correlazione è positiva).

In assenza di correlazione ( $ρ = 0$ ) la varianza non può essere annullata ma può essere ridotta combinando titoli.

Scelte di Portafoglio

In $t = 0$ un individuo possiede ricchezza iniziale $x$ con funzione di utilità: $u^{'} (x) > 0, u^{''} (x) < 0$ (crescente e concava). .
Investe in $N$ strumenti rischiosi e $1$ titolo privo di rischio (titolo $0$ ) con l'obiettivo di massimizzare l'utilità attesa della ricchezza in $t = 1$ .

Il rendimento titolo rischioso $n$ in $t = 1$ :

\tilde{r}_{n} = \frac{d ~ _{n}}{q _{n}}, n = 1, \dots, N

dove $q_{n}$ è il prezzo in $t = 0$ e $\tilde{d}_{n}$ il dividendo in $t = 1$ .

Il titolo privo di rischio invece rende $r_{f}$ in $t = 1$ per ogni euro investito in $t = 0$ .

Sia $w$ il Portafoglio

w = (w_{1}, \dots, w_{N}) \in R^{N}

dove $w_{n}$ è la somma investita nel titolo $n$ ( $w_{n} > 0$ : detenzione del titolo, $w_{n} < 0$ : vendita allo scoperto) e $(x - \sum_{n = 1}^{N} w_{n})$ la somma investita in $r_{f}$ .

La ricchezza finale in $t = 1$ sarà:

W_{f} = (x - n = 1 \sum N w_{n}) r_{f} + n = 1 \sum N w_{n} \tilde{r}_{n} = x r_{f} + n = 1 \sum N w_{n} (\tilde{r}_{n} - r_{f})

Se $x - \sum_{n = 1}^{N} w_{n} > 0$ , parte della ricchezza è investita nel titolo privo di rischio.

Se $x - \sum_{n = 1}^{N} w_{n} < 0$ , l’individuo si indebita al tasso $r_{f} - 1$ .

Problema di massimizzazione dell'utilità attesa

w \in R^{N} max E [u (W_{f})]

Condizione ottimale di massimizzazione dell'utilità attesa:

E [u^{'} (x r_{f} + w (\tilde{r} - r_{f})) (\tilde{r} - r_{f})] = 0

In sintesi, un individuo investe nel titolo rischioso se e solo se il premio per il rischio è positivo:

w^{*} > 0 \Leftrightarrow E [\tilde{r}] - r_{f} > 0

Caso Particolare: Utilità esponenziale e portafoglio ottimo

La funzione di utilità esponenziale è definita come:

u (x) = - \frac{1}{a} e^{- a x}, a > 0

Il portafoglio ottimo si ottiene ponendo:

w^{*} = \frac{E [ r ~ ] - r _{f}}{a σ ^{2} ( r ~ )}

L'investimento nel titolo rischioso $w^{*}$ risulta:

Indipendente dalla ricchezza iniziale $x$
Decrescente nel coefficiente assoluto di avversione al rischio $a$
Decrescente nella varianza $σ^{2} (\tilde{r})$
Crescente nel premio per il rischio $E [\tilde{r}] - r_{f}$
Crescente nel rendimento atteso $E [\tilde{r}]$
Decrescente nel rendimento del titolo privo di rischio $r_{f}$

Assicurazione e Avversione al Rischio

Un individuo strettamente avverso al rischio possiede in $t = 0$ un ammontare di ricchezza $x$ .

In $t = 1$ può verificarsi un danno monetario $D > 0$ con probabilità $π \in (0, 1)$ .
Con probabilità $1 - π$ non si verifica alcun danno, quindi l'individuo mantiene $x$ .

L'individuo può acquistare $w \geq 0$ unità di copertura assicurativa. Ogni unità garantisce 1 euro in $t = 1$ se il danno si verifica, e $0$ altrimenti. Prezzo per unità in $t = 0$ : $q > 0$ .

Senza assicurazione, utilità attesa:

U_{0} = π u (x - D) + (1 - π) u (x)

Con assicurazione (acquisto $w$ unità), utilità atesa:

w \geq 0 max π u (x - D - wq + w) + (1 - π) u (x - wq)

Il livello ottimale $w^{*}$ soddisfa:

π (1 - q) u^{'} (x - D - w^{*} q + w^{*}) - q (1 - π) u^{'} (x - w^{*} q) \leq 0

con uguaglianza se $w^{*} > 0$ .

Un contratto è attuarialmente equo se il prezzo corrisponde alla probabilità dell'evento:

q = π

ovvero il valore atteso del payoff è nullo:

(1 - q) π - q (1 - π) = 0

Se $q = π$ l’individuo si assicura completamente:

u^{'} (x - D + w^{*} (1 - q)) = u^{'} (x - w^{*} q)

Per la concavità di $u (\cdot)$ la soluzione è unica:

w^{*} = D

Se il contratto non è equo ( $q \neq = π$ ):

Prezzo troppo alto ( $q > π$ ) $\Rightarrow$ $w^{\*} < D$ → assicurazione parziale.
Prezzo troppo basso ( $q < π$ ) $\Rightarrow$ $w^{\*} > D$ → assicurazione eccessiva.

Frontiera dei Portafogli (Efficient Frontier EF)

La frontiera dei portafogli è l'insieme dei portafogli che, per un dato rendimento atteso, minimizzano la varianza.

Dato un portafoglio con rendimento atteso target $E [\tilde{r}_{p}]$ , il portafoglio ottimale $w$ è quello che minimizza la varianza tra tutti i portafogli che garantiscono quel rendimento.

Dati $N \geq 2$ titoli rischiosi: $\tilde{r}_{n}, n = 1, \dots, N$ , con vettore dei rendimenti attesi: $e \in R^{N}$
e matrice varianza-covarianza: $V \in R^{N \times N}$

$V = σ^{2} (\tilde{r}_{1}) cov (\tilde{r}_{2}, \tilde{r}_{1}) ⋮ cov (\tilde{r}_{N}, \tilde{r}_{1}) cov (\tilde{r}_{1}, \tilde{r}_{2}) σ^{2} (\tilde{r}_{2}) ⋮ \dots \dots \dots ⋱ \dots cov (\tilde{r}_{1}, \tilde{r}_{N}) cov (\tilde{r}_{2}, \tilde{r}_{N}) ⋮ σ^{2} (\tilde{r}_{N})$

Sia il portafoglio $w \in R^{N}$

con rendimento:

E [\tilde{r}] = w^{⊤} e = i = 1 \sum N w_{i} e_{i}

e varianza:

σ^{2} (w) = w^{⊤} V w = i = 1 \sum N j = 1 \sum N w_{i} w_{j} cov (\tilde{r}_{i}, \tilde{r}_{j})

Dato un rendimento atteso $E [\tilde{r}_{p}]$ , determinare $w_{p}$ tale che:

$w \in R^{N} min w^{⊤} V w s.t. {w^{⊤} e = E [\tilde{r}_{p}] w^{⊤} 1 = 1$

Definendo

$A = 1^{⊤} V^{- 1} e, B = e^{⊤} V^{- 1} e, C = 1^{⊤} V^{- 1} 1, D = BC - A^{2}$

si ottiene il portafoglio ottimale:

w_{p} = g + h E [\tilde{r}_{p}]

con

$g = \frac{C V ^{- 1} 1 - A V ^{- 1} e}{D}, h = \frac{B V ^{- 1} e - A V ^{- 1} 1}{D}$

Dato un altro portafoglio $w_{q}$ , la varianza in funzione del rendimento atteso è:

σ^{2} (w_{p}) = \frac{C ( E [ r ~ _{p} ] ) ^{2} - 2 A E [ r ~ _{p} ] + B}{D}

La frontiera efficiente è la parabola nel piano $(σ, E [\tilde{r}])$ definita da $σ^{2} (w_{p})$ .

Qualsiasi portafoglio sulla Frontiera Efficiente soddisfa le seguenti:

σ^{2} (\tilde{r}) = \frac{1}{C}

E (\tilde{r}) = \frac{A}{C}

Proprietà della Frontiera Efficiente

Combinazione lineare di portafogli

Dati $M$ portafogli $w_{i} \in FP, i = 1, \dots, M$ sulla frontiera, qualsiasi portafoglio della frontiera può essere scritto come:

w = i = 1 \sum M α_{i} w_{i}, i = 1 \sum M α_{i} = 1

Il rendimento atteso del portafoglio combinato:

E [\tilde{r}] = i = 1 \sum M α_{i} E [\tilde{r}_{i}]

Portafoglio con covarianza nulla

Dato un portafoglio $w_{p} \in FP$ (eccetto il portafoglio di minima varianza globale), esiste un unico portafoglio $w_{zc (p)} \in FP$ tale che: $cov (\tilde{r}_{p}, \tilde{r}_{zc (p)}) = 0$

Il rendimento atteso di $w_{zc (p)}$ è:

E [\tilde{r}_{zc (p)}] = \frac{C - A E [ r ~ _{p} ]}{D}

Nel piano $(σ, E [\tilde{r}])$ , il portafoglio $w_{zc (p)}$ corrisponde all’intersezione della retta tangente in $w_{p}$ con l’asse delle ordinate.

Combinazioni con portafoglio generico

Sia $w_{M V P}$ un portafoglio della frontiera diverso da $w_{p}$ e $w_{zc (p)}$ il corrispondente portafoglio con covarianza nulla.

Esiste un coefficiente $β_{qp}$ tale che:

E [\tilde{r}_{q}] = (1 - β_{qp}) E [\tilde{r}_{p}] + β_{qp} E [\tilde{r}_{zc (p)}]

Questo esprime che qualsiasi portafoglio della frontiera può essere rappresentato come combinazione lineare di un portafoglio generico e del portafoglio a covarianza nulla rispetto ad esso.

Asset Management

Indicatori di diversificazione

Herfindahl index:

D_{Herf} = w^{⊤} w = i = 1 \sum N w_{i}^{2}

con $D_{Herf} \in [\frac{1}{N}, 1]$

Valori elevati di $D_{Herf}$ indicano minore diversificazione e più concentrazione.

Curva di Lorenz

Dopo aver riordinato i pesi $w$ in ordine decrescente:

w_{(1)} \geq w_{(2)} \geq \dots \geq w_{(N)}

Si ottiene la Curva di Lorenz come:

L (n) = h = 1 \sum n w_{(h)}, L (0) = 0, L (N) = 1

La curva è crescente e concava.
Caso di perfetta diversificazione: $L (n) = \frac{n}{N}$ (bisettrice).

Più la curva è distante dalla bisettrice, maggiore concentrazione.

Coefficiente di Gini

Definiamo $\hat{L} (x)$ l’interpolazione lineare della curva di Lorenz.
Il coefficiente di Gini è:

G = 1 - 2 \int_{0}^{1} \hat{L} (x) d x

$G \in [0, 1]$ Per $G = 0$ si ha perfetta diversificazione, per $G = 1$ massima concentrazione.

Entropia di Shannon

Definiamo l’entropia del portafoglio:

H = - n = 1 \sum N w_{n} ln w_{n}

$H$ massima → portafoglio perfettamente diversificato

$H$ minima ( $H$ = 0) → portafoglio concentrato su un unico titolo

Modello Black & Litterman

Il classico approccio di Markowitz (media-varianza) ha tre grandi problemi:

Produce portafogli poco diversificati, con pesi molto estremi.
È molto sensibile agli errori di stima dei rendimenti attesi.
Non permette facilmente di includere opinioni personali dell’investitore.

Il modello Black & Litterman è stato sviluppato per affrontare questi limiti e produrre portafogli più realistici e stabili.

Black & Litterman partono dall’idea di un portafoglio di equilibrio:

È il portafoglio che rappresenta l’investitore medio del mercato.
È ben diversificato e riflette i pesi di mercato (ad esempio quelli basati sulle capitalizzazioni).
Se tutti gli investitori avessero le stesse opinioni, questo sarebbe il portafoglio ottimale.

A partire dai pesi di questo portafoglio, si ricavano i rendimenti impliciti di equilibrio (i rendimenti attesi che renderebbero quel portafoglio ottimale).
Questi rendimenti sono la base di partenza per l’investitore: rappresentano il “consenso” del mercato.

Successivamente, Black & Litterman considerano i rendimenti di equilibrio non come valori fissi, ma come una distribuzione probabilistica con media pari ai rendimenti di equilibrio e una certa varianza.

Un parametro $τ$ misura quanta fiducia si ha in questi rendimenti:

La grande innovazione è la possibilità di inserire le view dell’investitore, cioè previsioni personali su alcuni asset.
Queste possono essere:

Assolute: “Mi aspetto che l’asset X renda +5% sopra il risk-free.”
Relative: “Mi aspetto che l’asset A renda 1% in più dell’asset B.”

Le view possono avere anche un grado di incertezza: più siamo sicuri di una previsione, più questa avrà peso nella correzione dei rendimenti di equilibrio.

Il modello combina in modo matematicamente coerente:

I rendimenti di equilibrio (opinione del mercato).
Le view dell’investitore (opinioni personali, con il loro grado di fiducia).

Il risultato è un nuovo vettore di rendimenti attesi che:

Rimane vicino ai rendimenti di equilibrio quando non abbiamo view forti.
Si sposta verso le view quando siamo sicuri delle nostre previsioni.

Una volta ottenuti i nuovi rendimenti attesi, si ricalcola il portafoglio ottimale.
Questo ha tipicamente queste caratteristiche:

È più diversificato rispetto alla classica frontiera efficiente.
È più stabile (meno sensibile a piccoli errori di stima).
Rispecchia in modo quantitativo le view dell’investitore.

Approcio Risk Parity

La strategia Risk Parity è un approccio di asset allocation che non guarda semplicemente a quanto capitale viene allocato in ogni asset, ma piuttosto a quanto rischio ogni asset porta nel portafoglio.

L'idea è di costruire un portafoglio in cui ciascun asset contribuisce in maniera equilibrata alla volatilità complessiva. In questo modo si evita che una sola asset class (ad esempio l'azionario) domini l'andamento del portafoglio.

Partendo dai pesi di portafoglio:

w = w_{1} w_{2} ⋮ w_{n}, i = 1 \sum n w_{i} = 1

La matrice di covarianza delle rendite è:

Σ = Cov (r) \in R^{n \times n}

La varianza e la volatilità complessiva del portafoglio sono:

σ_{p}^{2} = w^{⊤} Σ w

σ_{p} = w^{⊤} Σ w

Per capire chi porta più rischio, si calcola
il Marginal Contribution to Risk (MRC) di ogni asset:

MR C_{i} = \frac{\partial σ _{p}}{\partial w _{i}} = \frac{( Σ w ) _{i}}{σ _{p}}

Moltiplicando il MRC per il peso si ottiene il Total Risk Contribution (TRC):

TR C_{i} = w_{i} \cdot MR C_{i} = w_{i} \frac{( Σ w ) _{i}}{σ _{p}}

La somma di tutti i contributi di rischio è sempre la volatilità totale:

i = 1 \sum n TR C_{i} = σ_{p}

In altre parole, ogni $TR C_{i}$ dice quanta parte della volatilità complessiva è dovuta a quell’asset.

L’idea di parità di rischio è che ogni asset debba contribuire allo stesso modo:

TR C_{1} = TR C_{2} = \dots = TR C_{n}

Ovvero, matematicamente:

w_{i} (Σ w)_{i} = w_{j} (Σ w)_{j} \forall i, j

Per risolvere il problema di ottimizzazione, bisogna trovare i pesi che soddisfano questa condizione è un problema di ottimizzazione non lineare. Una formulazione comune è minimizzare la distanza fra i contributi di rischio e un valore target $θ$ (che in un portafoglio perfettamente bilanciato sarebbe $σ_{p} / n$ ):

w min i = 1 \sum n (TR C_{i} - θ)^{2}

con i vincoli classici:

i = 1 \sum n w_{i} = 1, w_{i} \geq 0

Un’espressione compatta della stessa idea è:

w min \frac{1}{2} w \circ (Σ w) - \frac{σ _{p}}{n} 1_{2}^{2}

Dove $\circ$ rappresenta il prodotto elemento per elemento.

Esempio a Due Asset

Con due soli asset (es. azioni e obbligazioni) la volatilità di portafoglio si scrive:

σ_{p} = w_{1}^{2} σ_{1}^{2} + w_{2}^{2} σ_{2}^{2} + 2 w_{1} w_{2} ρ σ_{1} σ_{2}

La condizione di risk parity si ottiene imponendo che i contributi di rischio siano uguali:

w_{1} \frac{\partial σ _{p}}{\partial w _{1}} = w_{2} \frac{\partial σ _{p}}{\partial w _{2}}

Questa equazione si risolve numericamente per trovare i pesi $w_{1}, w_{2}$ .

In un portafoglio Risk Parity:

Gli asset meno volatili (es. obbligazioni) ottengono un peso maggiore rispetto ad un portafoglio tradizionale.
Gli asset più volatili (es. azioni) vengono ridimensionati per non dominare il rischio complessivo.
Per ottenere lo stesso livello di rischio/return di un portafoglio tradizionale, spesso si applica leva finanziaria.

Capital Asset Pricing Model CAPM

Il Capital Asset Pricing Model (CAPM) è un modello ad un fattore che descrive la relazione tra rendimento atteso di un titolo e rischio sistematico.

Ipotesi del Modello

Mercati perfettamente concorrenziali
Assenza di costi di transazione e tassazione
Titoli perfettamente divisibili
Economia chiusa: tutti gli individui investono la loro ricchezza nei $N$ titoli
Preferenze rappresentabili tramite utilità attesa e avversione al rischio
Rendimenti distribuiti come variabili casuali Normali multivariate (o utilità quadratica)

Siano $r_{f}$ il tasso privo di rischio, $r_{m}$ il rendimento del portafoglio di mercato, $r_{n}$ uk rendimento del titolo $n$ , $β_{nm}$ la misura di rischio sistematico del titolo $n$

La relazione fondamentale del CAPM è:

E [r_{q}] - r_{f} = β_{q m} (E [r_{m}] - r_{f})

dove:

β_{q m} = \frac{Cov ( r _{q} , r _{m} )}{σ ^{2} ( r _{m} )}

Se $β_{nm} > 0$ , il titolo covaria positivamente con il mercato e vi è un premio per il rischio positivo
Se $β_{nm} < 0$ , il titolo agisce come assicurazione, vi è un premio per il rischio negativo

La retta che rappresenta questa relazione è detta Security Market Line (SML)

Modello di Mercato

Il CAPM può essere riscritto come modello di regressione lineare:

r_{n} - r_{f} = α_{n} + β_{nm} (r_{m} - r_{f}) + ε_{n}

dove:

$α_{n}$ : extra-rendimento del titolo (Jensen's $α$ )
$ε_{n}$ : componente idiosincratica , a media zero e incorrelata con $r_{m}$

La varianza del rendimento di un titolo si scompone in:

σ^{2} (r_{n}) = β_{nm}^{2} σ^{2} (r_{m}) + σ^{2} (ε_{n})

La prima componente è detta rischio sistematico
La seconda è detta rischio idiosincratico

Valutazione di un Titolo

Il prezzo di un titolo $q_{n}$ con flussi di dividendi attesi $\tilde{d}_{n}$ è:

q_{n} = \frac{E [ d ~ _{n} ]}{r _{f} + β _{nm} ( E [ r _{m} ] - r _{f} )}

In ottica multiperiodale:

q_{n} = t = 1 \sum T \frac{E [ d ~ _{n} ( t )]}{( r _{f} + β _{nm} ( E [ r _{m} ] - r _{f} ) ) ^{t}}

Se i dividendi crescono al tasso costante $g$ , otteniamo la formula di Gordon:

q_{n} = \frac{E [ d ~ _{n} ( 1 )]}{r _{f} + β _{nm} ( E [ r _{m} ] - r _{f} ) - g}

Matematica Finanziaria

Indice:

Leggi di Capitalizzazione

Tassi Spot e Forward

Struttura dei Tassi e Bond

Principio di Non Arbitraggio

Prezzo di Coupon Bond a partire da Zero Coupon Bond

Valutazione degli Investimenti

Criterio del Valore Attuale

Criterio del TIR

Rischio di Tasso, Indici Temporali e Principio di Immunizzazione

Indici temporali: Duration e Convexity

Yield to Maturity

Duration di Macaulay

Convexity

Principio di Immunizzazione

Scelte in Condizioni di Rischio

Valore Atteso

Utilità Attesa

Principio dell'Utilità Attesa

Premio per il rischio e Certo Equivalente

Analisi Media Varianza e Teoria del Portafoglio di Markowitz

Rendimento Atteso e Varianza di un Portafoglio di 2 Titoli Rischiosi

Principio di diversificazione

Prinipio di Assicurazione

Caso Correlazione perfettamente positiva: ρ=+1

Caso Correlazione perfettamente negativa: ρ=−1

Portafoglio a varianza nulla

Caso generale −1<ρ<1

Interpretazione del Principio di Assicurazione

Scelte di Portafoglio

Problema di massimizzazione dell'utilità attesa

Caso Particolare: Utilità esponenziale e portafoglio ottimo

Assicurazione e Avversione al Rischio

Frontiera dei Portafogli (Efficient Frontier EF)

Proprietà della Frontiera Efficiente

Asset Management

Indicatori di diversificazione

Herfindahl index:

Curva di Lorenz

Coefficiente di Gini

Entropia di Shannon

Modello Black & Litterman

Approcio Risk Parity

Esempio a Due Asset

Capital Asset Pricing Model CAPM

Ipotesi del Modello

Modello di Mercato

Valutazione di un Titolo

Bibliografia

Caso Correlazione perfettamente positiva: $ρ = + 1$

Caso Correlazione perfettamente negativa: $ρ = - 1$

Caso generale $- 1 < ρ < 1$